\(\displaystyle{ x=\bar A\left(\xi^{\prime}+\sum_{j=1}^5 \alpha_j\sin 2j\xi^{\prime}\cosh 2j\eta^{\prime}\right)-\bar S_{\varphi_0}\, ,\:\: y=\bar A\left(\eta^{\prime}+\sum_{j=1}^5 \alpha_j\cos 2j\xi^{\prime}\sinh 2j\eta^{\prime}\right) }\)
\(\displaystyle{ \gamma=\tan^{-1}\left(\frac{\tau\bar t\lambda_c+\sigma t\lambda_s}{\sigma\bar t\lambda_c-\tau t\lambda_s}\right)\, ,\:\: m=\frac{\bar A}{a}\sqrt{\frac{\sigma^2+\tau^2}{t^2+\lambda_c^2}\left\{1+\left(\frac{1-n}{1+n}\tan\varphi\right)^2\right\}} }\)
ただし、
\(\varphi, \lambda\)： 新点の緯度及び経度
\(\varphi_0, \lambda_0\)： 平面直角座標系原点の緯度及び経度
\(a, F\)： 楕円体の長半径及び逆扁平率
\(m_0\)： 平面直角座標系の\(\,X\,\)軸上における縮尺係数 (0.9999)
\(\displaystyle{n=\frac{1}{2F-1}}\)
\(\displaystyle{ t=\sinh\left(\tanh^{-1}\sin\varphi-\frac{2\sqrt{n}}{1+n}\tanh^{-1}\left[\frac{2\sqrt{n}}{1+n}\sin\varphi\right]\right)\, ,\:\: \bar t=\sqrt{1+t^2} }\)
\(\displaystyle{ \lambda_c=\cos(\lambda-\lambda_0)\, ,\:\:\lambda_s=\sin(\lambda-\lambda_0)\, ,\:\: \xi^{\prime}=\tan^{-1}\left(\frac{t}{\lambda_c}\right)\, ,\:\:\eta^{\prime}=\tanh^{-1}\left(\frac{\lambda_s}{\bar t}\right) }\)
\(\displaystyle{ \sigma=1+\sum_{j=1}^{5}2j\alpha_j\cos 2j\xi^{\prime}\cosh 2j\eta^{\prime}\, ,\:\: \tau=\sum_{j=1}^{5}2j\alpha_j\sin 2j\xi^{\prime}\sinh 2j\eta^{\prime} }\)
\(\displaystyle{ \alpha_1=\frac{1}{2}n-\frac{2}{3}n^2+\frac{5}{16}n^3+\frac{41}{180}n^4-\frac{127}{288}n^5\, ,\:\: \alpha_2=\frac{13}{48}n^2-\frac{3}{5}n^3+\frac{557}{1440}n^4+\frac{281}{630}n^5\, ,\:\: }\)
\(\displaystyle{ \alpha_3=\frac{61}{240}n^3-\frac{103}{140}n^4+\frac{15061}{26880}n^5\, ,\:\: \alpha_4=\frac{49561}{161280}n^4-\frac{179}{168}n^5\, ,\:\: \alpha_5=\frac{34729}{80640}n^5 }\)
\(\displaystyle{ \bar S_{\varphi_0}=\frac{m_0 a}{1+n}\left(A_0\frac{\varphi_0}{\rho^{\prime\prime}}+\sum_{j=1}^{5}A_j\sin 2j\varphi_0\right)\, ,\:\: \bar A=\frac{m_0 a}{1+n}A_0 }\)
\(\displaystyle{ A_0=1+\frac{n^2}{4}+\frac{n^4}{64}\, ,\:\: A_1=-\frac{3}{2}\left(n-\frac{n^3}{8}-\frac{n^5}{64}\right)\, ,\:\: A_2=\frac{15}{16}\left(n^2-\frac{n^4}{4}\right) }\)
\(\displaystyle{ A_3=-\frac{35}{48}\left(n^3-\frac{5}{16}n^5\right)\, ,\:\: A_4=\frac{315}{512}n^4\, ,\:\: A_5=-\frac{693}{1280}n^5 }\)
ここで\(\,\rho^{\prime\prime}\,\)は緯度\(\,\varphi_0\,\)をラジアン単位に変換する量であり、緯度を表現する単位によって
与え方が異なる。例えば緯度が秒単位の場合には、\(\displaystyle{\rho^{\prime\prime}=3600\times\frac{180}{\pi}}\)であり、
分単位の場合には、\(\displaystyle{\rho^{\prime\prime}=60\times\frac{180}{\pi}}\)であり、度単位の場合には、\(\displaystyle{\rho^{\prime\prime}=\frac{180}{\pi}}\)である。
河瀬和重 (2011): Gauss-Krüger投影における経緯度座標及び平面直角座標相互間の
座標換算についてのより簡明な計算方法，国土地理院時報，121，109–124．